La respuesta que le dimos a este usuario fue muy rápida: tu moto necesita una cadena nueva, es decir, un kit de transmisión nuevo (cadena, piñón y corona) porque es raro que no se hayan desgastado todos los componentes de forma similar.
Los síntomas de que una cadena está vieja son precisamente los que describes en tu consulta: la cadena parece estar muy tensa en unos tramos y destensada en otros, cuando la miras girando la rueda a mano. Otra cosa que debes comprobar es si está muy deteriorada, como se diría por tus comentarios: prueba a tirar hacia fuera de la cadena en la parte exterior o trasera de la corona (rueda), como queriendo despegarla de ésta. Si la puedes separar más de medio diente de corona, es que está ya muy mal y es un riesgo seguir usándola.
Date cuenta de que en el peor caso, si la cadena se llega a partir no podrás evitar el susto y puede pasar cualquier cosa (nada bueno vaya), incluso que se bloquee la rueda y que la cadena parta el cárter y te haga daño en la pierna derecha… Por otra parte andar con una cadena que da tirones imaginarás que no es lo mejor para el eje de salida del cambio ni sus rodamientos (ni los de la rueda). Echar mucha grasa o aceite no es la solución, salvo en una cadena muy mal mantenida en cuyo caso una limpieza y engrase pueden atenuar el problema, pero parece que no es tu caso ya que te preocupas y la cuidas.